Комплексный анализ

Математическое моделирование позволяет и изучать те разделы математики, наглядное представление в которых весьма трудоемко для построения вручную. К таким разделам относится так называемая теория функций комплексной переменной. Эта теория широко применяется в прикладных науках – гидро и аэродинамике, электротехнике, современной физике и т. п. Основу этой теории составляет понятие комплексного числа.

Определение комплексных чисел

Комплексные числа появились в математике как естественное расширение действительных чисел, необходимое для возможности решения уравнений типа x=a^0.5 при отрицательных значениях a. Принято обозначать комплексные числа как многочлены типа:

z=a+ib,

где: a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица, по определению i=(-1) ^0.5.

Операции с комплексными числами

С комплексными числами можно выполнять все алгебраические операции. Интересно, что все операции с комплексными числами в качестве результата имеют так же комплексное число. То есть множество комплексных чисел замкнуто относительно алгебраических операций.

Сложение комплексных чисел осуществляется как сложение многочленов:

z₁+z₂ = (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

Аналогично выполняется вычитание комплексных чисел:

z₁-z₂ = (a+ib) - (c+id) = (a-c) + i(b-d)

Умножение комплексных чисел производится по формуле умножения многочленов:

z₁*z₂ = (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Деление комплексных чисел выполняется по формуле:

z₁/z₂ = (a+ib) / (c+id) = (ac+bd)/(c²+d²) + i(bc-ad)/ (c²+d²

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественно представить комплексное число z=a+ib точкой на плоскости с координатами x=a и y=b. Такую плоскость принято называть комплексной плоскостью, ось X – действительной осью, а ось Y – мнимой осью.

Точки, расположенные на действительной оси соответствуют комплексным числам типа z=a+i0=a, то есть действительным числам.

Точки, расположенные на мнимой оси соответствуют комплексным числам типа z=0+ib, они называются чисто мнимыми числами.

Если соединить точки комплексной плоскости, изображающие комплексные числа с центром системы координат (точкой с координатами 0,0), образуются объекты называемые векторами. При этом сложение комплексных чисел будет интерпретироваться как сложение, а вычитание как вычитание соответствующих векторов. Модуль разности комплексных чисел еще можно представить как расстояние между точками комплексной плоскости.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Если для определения положения точки на плоскости использовать полярную систему координат. Можно перейти к так называемой тригонометрической форме записи комплексных чисел. Точка в полярной системе координат определяется координатой r – расстоянием от начала координат и углом j, который образует радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс.

Положительным направлением изменения угла считается j направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат:

x=r cos(j),       y=r sin(j)

получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:

z=r(cos(j)+i sin(j)

При этом r обычно называют модулем, а j - аргументом комплексного числа и обозначают r=|z|, j=Arg (z). Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2p.

Аргумент комплексного числа z=0 вообще не определен, а его модуль равен нулю.

Наконец, используя известную формулу Эйлера (e^ij=cos(j)+i sin(j)), получим так называемую показательную форму записи комплексного числа:

z=r e ^ij

Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой представления комплексных чисел. Согласно правилам умножения получаем:

z₁  *z₂ = r₁ r₂ (cos (j₁ +j₂ )+i sin(j₁ + j₂ ))

то есть модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

В случае деления комплексных чисел (если только r₂ не равно 0) имеет место аналогичное соотношение:

 z₁ /z₂ = r₁ /r₂ (cos (j₁ - j₂ )+i sin(j₁ - j₂ ))

Понятие функции комплексной переменной

Будем говорить, что на множестве E комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества E некоторое комплексное число. Множество E будем называть множеством значений независимой переменной.

Множество комплексных чисел w, соответствующих всем z принадлежащим E, называется множеством значений функции f(z). Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции эквивалентно заданию двух действительных функций двух действительных переменных, что может быть записано в виде:

w(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Функции u(x,y) и v(x,y) определены в области плоскости действительных переменных x,y, соответствующей множеству E комплексной плоскости. Функция u(x,y) называется действительной, а функция v(x,y) - мнимой частью функции w=f(z).

Геометрическая интерпретация понятия функции f(z) комплексной переменной заключается в в том, что равенством w=f(z) устанавливается закон соответствия между точками множества E комплексной плоскости z и точками области G комплексной плоскости w. Очевидно, устанавливается и обратное соответствие – каждой точке wIG ставится в соответствие одна или несколько точек zIE. Это означает, что на множестве G задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной w:

z=j(w)

Эта функция называется обратной функции f(z).

Моделирование функций комплексной переменной

Для изучения свойств функций комплексного переменного удобно использовать компьютер, так как он может быстро просчитать множество значений функции и представить его на экране.

В качестве первого примера рассмотрим линейную функцию. Она имеет вид:

F(z)=w=az+b,

где: a и b – заданные комплексные постоянные.

Если комплексные числа a,b,z и w представить в виде:

a₁+ia₂;  b₁+ib₂;   z₁+iz₂;   w₁+iw₂

и произвести преобразования, то получим:

w₁+iw₂ = (a₁+ia₂)(z₁+iz₂) + (b₁+ib₂) = (a₁z₁- a₂z₂+ b₁) + i(a₁z₂+ a₂z₁+ b₂) 

Смоделируем линейную функцию комплексной переменной с помощью программы на алгоритмическом языке Qbasic:

SCREEN 12                                                                     PRINT "             Линейная комплексная функция v=a*z+b"    INPUT "     введите комплексное число a=a1+i*a2 ", a1, a2  INPUT "     введите комплексное число b=b1+i*b2 ", b1, b2  FOR z1 = -10 TO 10 STEP 1                                                        FOR z2 = -10 TO 10 STEP 1                                                     PSET (320 + z1, 240 + z2), 1   NEXT z2, z1                                                                   LINE (0, 240)-(640, 240), 14                                                  LINE (320, 0)-(320, 480), 14                                                   INPUT "Преобразовать? Нажмите Enter ", a$     FOR z1 = -10 TO 10 STEP 1                                       FOR z2 = -10 TO 10 STEP 1                               w1 = a1 * z1 - a2 * z2 + b1                                                   w2 = a1 * z2 + a2 * z1 + b2                                                   PSET (320 + w1, 240 + w2), 2 NEXT z2, z1                                                                   END

Программа строит область определения функции – квадрат с центром в начале координат, а затем по введенным комплексным постоянным  a и b строит область значений линейной функции.

Рассмотрим поведение функции при разных значениях a и b:

Тождественная функция

a=1+i0;   b=0+i0

w₁+iw₂ = 1(z₁+iz₂) + 0+i0 = z₁+iz₂

w=z

Область определений и область значений совпадают

Параллельный перенос

a=1+i0;   b=b₁+ib₂

w₁+iw₂ = 1(z₁+iz₂) + (b₁+ib₂)

w=z+b

Область определений и область значений имеют одинаковую форму, но область значений сдвинута относительно области определений по оси x на   b₁, а по оси y на  b₂.

Поворот

a=1+ia₂;   b=0+i0

w₁+iw₂ = (1+ia₂)(z₁+iz₂) + 0+i0 = (z₁- a₂z₂) + i(a₁z₂+ a₂z₁)

w=z*a

Область определений и область значений имеют одинаковую форму, но область значений повернута на угол, который можно определить из тригонометрической формы записи комплексных чисел.

Масштабирование

a=a₁+i1;   b=0+i0

w₁+iw₂ = (a₁+i1)(z₁+iz₂) + 0+i0 = (a₁z₁- z₂) + i(a₁z₂+ z₁)

Область определений и область значений имеют вид квадратов с совпадающими центрами, но область значений больше (или меньше) области определений в a₁ раз. То есть, если a₁=3, область значений – квадрат в три раза больший, чем область определений, а если a₁=0,5, область значений  - квадрат в два разе меньший, чем область определений.

Общий случай

a₁+ia₂;  b₁+ib₂

В этом случае имеет место сочетание всех преобразований.

Итак, в общем случае, линейная функция комплексного переменного преобразует комплексную плоскость z в комплексную плоскость w путем подобного растяжения (сжатия), поворота и сдвига.

Квадратная функция комплексной переменной

Она имеет вид: w=f(z)=z² . Подставив значения действительной и мнимой части получим:

w₁=z₁²-z₂²

w₂=2z₁z₂

Программа для представления квадратной функции имеет вид:

SCREEN 12                              PRINT "Демонстрация комплексной функции w=z^2"   FOR a = -10 TO 10 STEP 1                      FOR b = -10 TO 10 STEP 1                                                      PSET (320 + a, 240 + b), 1                                                  NEXT b, a                                                                     LINE (0, 240)-(640, 240), 14 LINE (320, 0)-(320, 480), 14                                                  INPUT "Преобразовать? Нажмите Enter ", a$      FOR a = -10 TO 10 STEP .2                        FOR b = -10 TO 10 STEP .2             c = a * a - b * b                                             d = b * a + a * b                              PSET (320 + c, 240 + d), 2      NEXT b, a                    END

Интересно исследовать квадратную функцию вида:

w=f(z)=a*z²+b при различных значениях комплексных постоянных a и b.

А вот так выглядит график преобразования окружности (она показана белым цветом) квадратной функцией  w=f(z)=a*z².

Если задавать различные области определения функции и менять ее, можно получить разнообразные интересные фигуры, изображающие области значения функции. Эти фигуры имеют и физический смысл. Функции комплексной переменной отображают важные физические явления, которые происходят в жидкостях, газах, электромагнитных и иных полях, позволяя теоретически исследовать эти явления. Поэтому теория функций комплексного переменного входит как составная часть математической подготовки инженера – конструктора летательных аппаратов, систем связи, силовой электроники и других современных специальностей. Для будущего математика это также необходимая часть его общей подготовки. Ниже показаны некоторые примеры графиков функций комплексной переменной (они, к тому же еще, и красивы):

Комплексное число z₁=z^1/n называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если  z₁ⁿ = z. Извлечение корня из комплексного числа удобно производить  с использованием тригонометрической формы записи числа. Из этого определения следует, что r₁=r^1/n и ?₁=?/n. Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2?. Поэтому из выражения для аргумента комплексного числа z₁:

φ_k= φ₀/n+2φk/n,

где φ₀ - одно из значений аргумента комплексного числа z, получим, что существуют различные комплексные числа, которые при возведении в n-ю степень равны одному и тому же комплексному числу. Модули этих комплексных чисел одинаковы и равны r^1/n, а аргументы различаются на число, кратное 2?/n. Число различных значений корня n-ой степени из комплексного числа z равно n. Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значения корня n-ой степени расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r^1/n с центром в точке 0. Соответствующие значения ?_к получаются при k, принимающем значения k=0,1,…n-1.

Для наглядного отображения корней комплексных чисел применяется программа, выводящая изображение корней на комплексной плоскости.

Наиболее просто определяются корни единицы. Они располагаются в точках деления единичной окружности:

Если область определения комплексной функции выбрать в виде квадрата на комплексной плоскости, изображение функции корня примет вид: